(v+4)^2=2v^2+2v+9 megoldása

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Megoldás a(z) v változóra

$$v=-1$$

$$v=7$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(v+4\right)^{2}).

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2v^{2}.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Összevonjuk a következőket: v^{2} és -2v^{2}. Az eredmény -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2v.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Összevonjuk a következőket: 8v és -2v. Az eredmény 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) 16 értéket. Az eredmény 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -v^{2}+av+bv+7 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Az egyetlen ilyen pár a rendszermegoldás.

$$a=7 b=-1$$

Átírjuk az értéket (-v^{2}+6v+7) \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right) alakban.

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

A -v a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) v-7 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a v-7=0 és a -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(v+4\right)^{2}).

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2v^{2}.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Összevonjuk a következőket: v^{2} és -2v^{2}. Az eredmény -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2v.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Összevonjuk a következőket: 8v és -2v. Az eredmény 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) 16 értéket. Az eredmény 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (v=\frac{-6±8}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

2 elosztása a következővel: -2.

$$v=-1$$

Megoldjuk az egyenletet (v=\frac{-6±8}{-2}). ± előjele negatív. 8 kivonása a következőből: -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

-14 elosztása a következővel: -2.

$$v=7$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$v=-1 v=7$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(v+4\right)^{2}).

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2v^{2}.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Összevonjuk a következőket: v^{2} és -2v^{2}. Az eredmény -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2v.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Összevonjuk a következőket: 8v és -2v. Az eredmény 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 9 értéket. Az eredmény -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

6 elosztása a következővel: -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

-7 elosztása a következővel: -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Elosztjuk a(z) -6 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -3. Ezután hozzáadjuk -3 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Összeadjuk a következőket: 7 és 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Tényezőkre v^{2}-6v+9. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Egyszerűsítünk.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$v=7 v=-1$$