(k+1/4)^2-1/16-1/5=0 megoldása

$$( k + \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 16 } - \frac { 1 } { 5 } = 0$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx 0,262347538$$

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx -0,762347538$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}).

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

Kivonjuk a(z) \frac{1}{16} értékből a(z) \frac{1}{16} értéket. Az eredmény 0.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) \frac{1}{2} értéket b-be és a(z) -\frac{1}{5} értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -\frac{1}{5}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{5}}}{2}$$

\frac{1}{4} és \frac{4}{5} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{21}{20}}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: \frac{21}{20}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -\frac{1}{2} és \frac{\sqrt{105}}{10}.

$$k=\frac{\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{105}}{10} elosztása a következővel: 2.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}). ± előjele negatív. \frac{\sqrt{105}}{10} kivonása a következőből: -\frac{1}{2}.

$$k=\frac{-\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{105}}{10} elosztása a következővel: 2.

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}).

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

Kivonjuk a(z) \frac{1}{16} értékből a(z) \frac{1}{16} értéket. Az eredmény 0.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{1}{5}. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k=\frac{1}{5}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{1}{5}+\frac{1}{16}$$

\frac{1}{5} és \frac{1}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{21}{80}$$

Tényezőkre k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{80}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{80}}$$

Egyszerűsítünk.

$$k+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{105}}{20} k+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{20}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{4}.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$