(a-40)(1000-10a)=8000 megoldása

$$( a - 40 ) ( 1000 - 10 a ) = 8000$$

Megoldás a(z) a változóra

$$a=60$$

$$a=80$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (a-40 és 1000-10a), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$1400a-10a^{2}-40000=8000$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8000.

$$1400a-10a^{2}-40000-8000=0$$

Kivonjuk a(z) 8000 értékből a(z) -40000 értéket. Az eredmény -48000.

$$1400a-10a^{2}-48000=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-10a^{2}+1400a-48000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -10 értéket a-ba, a(z) 1400 értéket b-be és a(z) -48000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-1400±\sqrt{1400^{2}-4\left(-10\right)\left(-48000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1400.

$$a=\frac{-1400±\sqrt{1960000-4\left(-10\right)\left(-48000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -10.

$$a=\frac{-1400±\sqrt{1960000+40\left(-48000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 40 és -48000.

$$a=\frac{-1400±\sqrt{1960000-1920000}}{2\left(-10\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 1960000 és -1920000.

$$a=\frac{-1400±\sqrt{40000}}{2\left(-10\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 40000.

$$a=\frac{-1400±200}{2\left(-10\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -10.

$$a=\frac{-1400±200}{-20}$$

Megoldjuk az egyenletet (a=\frac{-1400±200}{-20}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1400 és 200.

$$a=-\frac{1200}{-20}$$

-1200 elosztása a következővel: -20.

$$a=60$$

Megoldjuk az egyenletet (a=\frac{-1400±200}{-20}). ± előjele negatív. 200 kivonása a következőből: -1400.

$$a=-\frac{1600}{-20}$$

-1600 elosztása a következővel: -20.

$$a=80$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$a=60 a=80$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (a-40 és 1000-10a), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$1400a-10a^{2}-40000=8000$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 40000.

$$1400a-10a^{2}=8000+40000$$

Összeadjuk a következőket: 8000 és 40000. Az eredmény 48000.

$$1400a-10a^{2}=48000$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-10a^{2}+1400a=48000$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -10.

$$\frac{-10a^{2}+1400a}{-10}=\frac{48000}{-10}$$

A(z) -10 értékkel való osztás eltünteti a(z) -10 értékkel való szorzást.

$$a^{2}+\frac{1400}{-10}a=\frac{48000}{-10}$$

1400 elosztása a következővel: -10.

$$a^{2}-140a=\frac{48000}{-10}$$

48000 elosztása a következővel: -10.

$$a^{2}-140a=-4800$$

Elosztjuk a(z) -140 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -70. Ezután hozzáadjuk -70 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$a^{2}-140a+\left(-70\right)^{2}=-4800+\left(-70\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -70.

$$a^{2}-140a+4900=-4800+4900$$

Összeadjuk a következőket: -4800 és 4900.

$$a^{2}-140a+4900=100$$

Tényezőkre a^{2}-140a+4900. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(a-70\right)^{2}=100$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(a-70\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Egyszerűsítünk.

$$a-70=10 a-70=-10$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 70.

$$a=80 a=60$$