(76-4x)(8+2x)=1080 megoldása

$$( 76 - 4 x ) ( 8 + 2 x ) = 1080$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}\approx 7,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}\approx 7,5-1,658312395i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (76-4x és 8+2x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1080.

$$608+120x-8x^{2}-1080=0$$

Kivonjuk a(z) 1080 értékből a(z) 608 értéket. Az eredmény -472.

$$-472+120x-8x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-8x^{2}+120x-472=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -8 értéket a-ba, a(z) 120 értéket b-be és a(z) -472 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 120.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 32 és -472.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-15104}}{2\left(-8\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 14400 és -15104.

$$x=\frac{-120±\sqrt{-704}}{2\left(-8\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -704.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{2\left(-8\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -8.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -120 és 8i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-120+8\sqrt{11}i}{-16}$$

-120+8i\sqrt{11} elosztása a következővel: -16.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16}). ± előjele negatív. 8i\sqrt{11} kivonása a következőből: -120.

$$x=\frac{-8\sqrt{11}i-120}{-16}$$

-120-8i\sqrt{11} elosztása a következővel: -16.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2} x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (76-4x és 8+2x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 608.

$$120x-8x^{2}=1080-608$$

Kivonjuk a(z) 608 értékből a(z) 1080 értéket. Az eredmény 472.

$$120x-8x^{2}=472$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-8x^{2}+120x=472$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -8.

$$\frac{-8x^{2}+120x}{-8}=\frac{472}{-8}$$

A(z) -8 értékkel való osztás eltünteti a(z) -8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{120}{-8}x=\frac{472}{-8}$$

120 elosztása a következővel: -8.

$$x^{2}-15x=\frac{472}{-8}$$

472 elosztása a következővel: -8.

$$x^{2}-15x=-59$$

Elosztjuk a(z) -15 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-59+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-59+\frac{225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -59 és \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{11}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{2}.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$