(5x-4)^2=81 megoldása

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2,6$$

$$x=-1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-4\right)^{2}).

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 81.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Kivonjuk a(z) 81 értékből a(z) 16 értéket. Az eredmény -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-13 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -65.

$$1,-65 5,-13$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-13 b=5$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-8x-13) \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Emelje ki a(z) x elemet a(z) 5x^{2}-13x kifejezésből.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-13 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5x-13=0 és a x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-4\right)^{2}).

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 81.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Kivonjuk a(z) 81 értékből a(z) 16 értéket. Az eredmény -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 25 értéket a-ba, a(z) -40 értéket b-be és a(z) -65 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -100 és -65.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

Összeadjuk a következőket: 1600 és 6500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 8100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

-40 ellentettje 40.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 25.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{40±90}{50}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 40 és 90.

$$x=\frac{130}{50}$$

A törtet (\frac{130}{50}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{13}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{40±90}{50}). ± előjele negatív. 90 kivonása a következőből: 40.

$$x=-\frac{50}{50}$$

-50 elosztása a következővel: 50.

$$x=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-4\right)^{2}).

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 81 értéket. Az eredmény 65.

$$25x^{2}-40x=65$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

A(z) 25 értékkel való osztás eltünteti a(z) 25 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

A törtet (\frac{-40}{25}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

A törtet (\frac{65}{25}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

\frac{13}{5} és \frac{16}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{5}.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$