(5x^2+6x+5)=0 megoldása

$$( 5 x ^ { 2 } + 6 x + 5 ) = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i=-0,6+0,8i$$

$$x=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i=-0,6-0,8i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+6x+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 5}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-100}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és -100.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-64}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -64.

$$x=\frac{-6±8i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-6±8i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±8i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 8i.

$$x=\frac{-6+8i}{10}$$

-6+8i elosztása a következővel: 10.

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±8i}{10}). ± előjele negatív. 8i kivonása a következőből: -6.

$$x=\frac{-6-8i}{10}$$

-6-8i elosztása a következővel: 10.

$$x=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i x=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+6x+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$5x^{2}+6x+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+6x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{5}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{5}{5}$$

-5 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-1$$

Elosztjuk a(z) \frac{6}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-1+\frac{9}{25}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{16}{25}$$

A(z) x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{16}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{4}{5}i x+\frac{3}{5}=-\frac{4}{5}i$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{5}.

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i x=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$