(5x+7)^2=16 megoldása

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x+7\right)^{2}).

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 49 értéket. Az eredmény 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 25x^{2}+ax+bx+33 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 825.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 70.

$$a=15 b=55$$

Átírjuk az értéket (25x^{2}+70x+33) \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right) alakban.

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és 11 faktort.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x+3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5x+3=0 és a 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x+7\right)^{2}).

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 49 értéket. Az eredmény 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 25 értéket a-ba, a(z) 70 értéket b-be és a(z) 33 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -100 és 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Összeadjuk a következőket: 4900 és -3300.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1600.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-70±40}{50}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -70 és 40.

$$x=-\frac{30}{50}$$

A törtet (\frac{-30}{50}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-70±40}{50}). ± előjele negatív. 40 kivonása a következőből: -70.

$$x=-\frac{110}{50}$$

A törtet (\frac{-110}{50}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x+7\right)^{2}).

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 49.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Kivonjuk a(z) 49 értékből a(z) 16 értéket. Az eredmény -33.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 25.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

A(z) 25 értékkel való osztás eltünteti a(z) 25 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

A törtet (\frac{70}{25}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Elosztjuk a(z) \frac{14}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

-\frac{33}{25} és \frac{49}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{5}.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$