(4x-1)^2=(x-1)(x+1) megoldása

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0,266666667+0,249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0,266666667-0,249443826i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(4x-1\right)^{2}).

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Vegyük a következőt: \left(x-1\right)\left(x+1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Összevonjuk a következőket: 16x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 15x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 1.

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 1. Az eredmény 2.

$$15x^{2}-8x+2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 15 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) 2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: -60 és 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és -120.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -56.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 15.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

8+2i\sqrt{14} elosztása a következővel: 30.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{14} kivonása a következőből: 8.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

8-2i\sqrt{14} elosztása a következővel: 30.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(4x-1\right)^{2}).

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Vegyük a következőt: \left(x-1\right)\left(x+1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Összevonjuk a következőket: 16x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 15x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) -1 értéket. Az eredmény -2.

$$15x^{2}-8x=-2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 15.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

A(z) 15 értékkel való osztás eltünteti a(z) 15 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{15}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{15} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{15} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

-\frac{2}{15} és \frac{16}{225} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{15}.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$