(3x-5)(x+2)leqx^2 megoldása

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-5 és x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -10 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±9}{4}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

A szorzat csak akkor ≤0, ha a két érték (x-2 és x+\frac{5}{2}) közül az egyik ≥0, a másik pedig ≤0. Tegyük fel, hogy x-2\geq 0 és x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-2\leq 0 és x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$