(20-3x)(12-x)=112 megoldása

$$( 20 - 3 x ) ( 12 - x ) = 112$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

$$x=16$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (20-3x és 12-x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$240-56x+3x^{2}=112$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 112.

$$240-56x+3x^{2}-112=0$$

Kivonjuk a(z) 112 értékből a(z) 240 értéket. Az eredmény 128.

$$128-56x+3x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-56x+128=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -56 értéket b-be és a(z) 128 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 3\times 128}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -56.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 3\times 128}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-12\times 128}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 128.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-1536}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 3136 és -1536.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{1600}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1600.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±40}{2\times 3}$$

-56 ellentettje 56.

$$x=\frac{56±40}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{56±40}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{56±40}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 56 és 40.

$$x=\frac{96}{6}$$

96 elosztása a következővel: 6.

$$x=16$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{56±40}{6}). ± előjele negatív. 40 kivonása a következőből: 56.

$$x=\frac{16}{6}$$

A törtet (\frac{16}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{8}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=16 x=\frac{8}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (20-3x és 12-x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$240-56x+3x^{2}=112$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 240.

$$-56x+3x^{2}=112-240$$

Kivonjuk a(z) 240 értékből a(z) 112 értéket. Az eredmény -128.

$$-56x+3x^{2}=-128$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-56x=-128$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-56x}{3}=-\frac{128}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x=-\frac{128}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{56}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{28}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{28}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\left(-\frac{28}{3}\right)^{2}=-\frac{128}{3}+\left(-\frac{28}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{28}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}=-\frac{128}{3}+\frac{784}{9}$$

-\frac{128}{3} és \frac{784}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}=\frac{400}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{28}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{28}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{28}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{28}{3}=-\frac{20}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{28}{3}.

$$x=16 x=\frac{8}{3}$$