(20-3x)(12-2x)=112 megoldása

$$( 20 - 3 x ) ( 12 - 2 x ) = 112$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10,666666667$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (20-3x és 12-2x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 112.

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

Kivonjuk a(z) 112 értékből a(z) 240 értéket. Az eredmény 128.

$$128-76x+6x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-76x+128=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -76 értéket b-be és a(z) 128 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -76.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és 128.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 5776 és -3072.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2704.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

-76 ellentettje 76.

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{76±52}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{76±52}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 76 és 52.

$$x=\frac{128}{12}$$

A törtet (\frac{128}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{32}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{76±52}{12}). ± előjele negatív. 52 kivonása a következőből: 76.

$$x=\frac{24}{12}$$

24 elosztása a következővel: 12.

$$x=2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (20-3x és 12-2x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 240.

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

Kivonjuk a(z) 240 értékből a(z) 112 értéket. Az eredmény -128.

$$-76x+6x^{2}=-128$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}-76x=-128$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

A törtet (\frac{-76}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

A törtet (\frac{-128}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{38}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{19}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{19}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{19}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

-\frac{64}{3} és \frac{361}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{19}{3}.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$