(2y+3)^2+y^2=4 megoldása

$$( 2 y + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}\approx -0,536675042$$

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}\approx -1,863324958$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2y+3\right)^{2}).

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Összevonjuk a következőket: 4y^{2} és y^{2}. Az eredmény 5y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4.

$$5y^{2}+12y+9-4=0$$

Kivonjuk a(z) 4 értékből a(z) 9 értéket. Az eredmény 5.

$$5y^{2}+12y+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 12 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 12.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 5}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-100}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 144 és -100.

$$y=\frac{-12±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 44.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -12 és 2\sqrt{11}.

$$y=\frac{2\sqrt{11}-12}{10}$$

-12+2\sqrt{11} elosztása a következővel: 10.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}). ± előjele negatív. 2\sqrt{11} kivonása a következőből: -12.

$$y=\frac{-2\sqrt{11}-12}{10}$$

-12-2\sqrt{11} elosztása a következővel: 10.

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2y+3\right)^{2}).

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Összevonjuk a következőket: 4y^{2} és y^{2}. Az eredmény 5y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9.

$$5y^{2}+12y=4-9$$

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -5.

$$5y^{2}+12y=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5y^{2}+12y}{5}=-\frac{5}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-\frac{5}{5}$$

-5 elosztása a következővel: 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-1$$

Elosztjuk a(z) \frac{12}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{6}{5}. Ezután hozzáadjuk \frac{6}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

A(z) \frac{6}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=-1+\frac{36}{25}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{36}{25}.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=\frac{11}{25}$$

Tényezőkre y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} y+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{6}{5}.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$