(2x)^2+(6-2sqrt{3}x)^2+6/sqrt{3}=12/sqrt{3}-2x megoldása

$$( 2 x ) ^ { 2 } + ( 6 - 2 \sqrt { 3 } x ) ^ { 2 } + \frac { 6 } { \sqrt { 3 } } = \frac { 12 } { \sqrt { 3 } } - 2 x$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{16}+\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{16}\approx 1,236538106+0,710258518i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{16}+\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{16}\approx 1,236538106-0,710258518i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Kifejtjük a következőt: \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}-2x$$

Kiszámoljuk a(z) 2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}-2x$$

Gyöktelenítjük a tört (\frac{6}{\sqrt{3}}) nevezőjét úgy, hogy megszorozzuk a számlálót és a nevezőt ennyivel: \sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+\frac{6\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}-2x$$

\sqrt{3} négyzete 3.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+\frac{6\sqrt{3}}{3}=\frac{12}{\sqrt{3}}-2x$$

Elosztjuk a(z) 6\sqrt{3} értéket a(z) 3 értékkel. Az eredmény 2\sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2\sqrt{3}=\frac{12}{\sqrt{3}}-2x$$

Gyöktelenítjük a tört (\frac{12}{\sqrt{3}}) nevezőjét úgy, hogy megszorozzuk a számlálót és a nevezőt ennyivel: \sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2\sqrt{3}=\frac{12\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-2x$$

\sqrt{3} négyzete 3.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2\sqrt{3}=\frac{12\sqrt{3}}{3}-2x$$

Elosztjuk a(z) 12\sqrt{3} értéket a(z) 3 értékkel. Az eredmény 4\sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}-2x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4\sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}=-2x$$

Összevonjuk a következőket: 2\sqrt{3} és -4\sqrt{3}. Az eredmény -2\sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}-2\sqrt{3}=-2x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2x.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}-2\sqrt{3}+2x=0$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}).

$$4x^{2}+36-24\sqrt{3}x+4\left(\sqrt{3}\right)^{2}x^{2}-2\sqrt{3}+2x=0$$

\sqrt{3} négyzete 3.

$$4x^{2}+36-24\sqrt{3}x+4\times 3x^{2}-2\sqrt{3}+2x=0$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 3. Az eredmény 12.

$$4x^{2}+36-24\sqrt{3}x+12x^{2}-2\sqrt{3}+2x=0$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és 12x^{2}. Az eredmény 16x^{2}.

$$16x^{2}+36-24\sqrt{3}x-2\sqrt{3}+2x=0$$

Összevonunk minden tagot, amelyben szerepel x.

$$16x^{2}+36+\left(-24\sqrt{3}+2\right)x-2\sqrt{3}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$16x^{2}+\left(2-24\sqrt{3}\right)x+36-2\sqrt{3}=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 16 értéket a-ba, a(z) -24\sqrt{3}+2 értéket b-be és a(z) 36-2\sqrt{3} értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(2-24\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(2-24\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 16\left(36-2\sqrt{3}\right)}}{2\times 16}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -24\sqrt{3}+2.

$$x=\frac{-\left(2-24\sqrt{3}\right)±\sqrt{1732-96\sqrt{3}-4\times 16\left(36-2\sqrt{3}\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$x=\frac{-\left(2-24\sqrt{3}\right)±\sqrt{1732-96\sqrt{3}-64\left(36-2\sqrt{3}\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -64 és 36-2\sqrt{3}.

$$x=\frac{-\left(2-24\sqrt{3}\right)±\sqrt{1732-96\sqrt{3}+128\sqrt{3}-2304}}{2\times 16}$$

Összeadjuk a következőket: 1732-96\sqrt{3} és -2304+128\sqrt{3}.

$$x=\frac{-\left(2-24\sqrt{3}\right)±\sqrt{32\sqrt{3}-572}}{2\times 16}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -572+32\sqrt{3}.

$$x=\frac{-\left(2-24\sqrt{3}\right)±2i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{2\times 16}$$

-24\sqrt{3}+2 ellentettje 24\sqrt{3}-2.

$$x=\frac{24\sqrt{3}-2±2i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 16.

$$x=\frac{24\sqrt{3}-2±2i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24\sqrt{3}-2±2i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{32}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 24\sqrt{3}-2 és 2i\sqrt{143-8\sqrt{3}}.

$$x=\frac{24\sqrt{3}-2+2i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{32}$$

24\sqrt{3}-2+2i\sqrt{143-8\sqrt{3}} elosztása a következővel: 32.

$$x=\frac{i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{16}+\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24\sqrt{3}-2±2i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{32}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{143-8\sqrt{3}} kivonása a következőből: 24\sqrt{3}-2.

$$x=\frac{-2i\sqrt{143-8\sqrt{3}}+24\sqrt{3}-2}{32}$$

24\sqrt{3}-2-2i\sqrt{143-8\sqrt{3}} elosztása a következővel: 32.

$$x=-\frac{i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{16}+\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{16}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{16}+\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{16} x=-\frac{i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{16}+\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{16}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Kifejtjük a következőt: \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}-2x$$

Kiszámoljuk a(z) 2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}-2x$$

Gyöktelenítjük a tört (\frac{6}{\sqrt{3}}) nevezőjét úgy, hogy megszorozzuk a számlálót és a nevezőt ennyivel: \sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+\frac{6\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}-2x$$

\sqrt{3} négyzete 3.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+\frac{6\sqrt{3}}{3}=\frac{12}{\sqrt{3}}-2x$$

Elosztjuk a(z) 6\sqrt{3} értéket a(z) 3 értékkel. Az eredmény 2\sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2\sqrt{3}=\frac{12}{\sqrt{3}}-2x$$

Gyöktelenítjük a tört (\frac{12}{\sqrt{3}}) nevezőjét úgy, hogy megszorozzuk a számlálót és a nevezőt ennyivel: \sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2\sqrt{3}=\frac{12\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-2x$$

\sqrt{3} négyzete 3.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2\sqrt{3}=\frac{12\sqrt{3}}{3}-2x$$

Elosztjuk a(z) 12\sqrt{3} értéket a(z) 3 értékkel. Az eredmény 4\sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}-2x$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2x.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2\sqrt{3}+2x=4\sqrt{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2\sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2x=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}$$

Összevonjuk a következőket: 4\sqrt{3} és -2\sqrt{3}. Az eredmény 2\sqrt{3}.

$$4x^{2}+\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}+2x=2\sqrt{3}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(6-2\sqrt{3}x\right)^{2}).

$$4x^{2}+36-24\sqrt{3}x+4\left(\sqrt{3}\right)^{2}x^{2}+2x=2\sqrt{3}$$

\sqrt{3} négyzete 3.

$$4x^{2}+36-24\sqrt{3}x+4\times 3x^{2}+2x=2\sqrt{3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 3. Az eredmény 12.

$$4x^{2}+36-24\sqrt{3}x+12x^{2}+2x=2\sqrt{3}$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és 12x^{2}. Az eredmény 16x^{2}.

$$16x^{2}+36-24\sqrt{3}x+2x=2\sqrt{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 36.

$$16x^{2}-24\sqrt{3}x+2x=2\sqrt{3}-36$$

Összevonunk minden tagot, amelyben szerepel x.

$$16x^{2}+\left(-24\sqrt{3}+2\right)x=2\sqrt{3}-36$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$16x^{2}+\left(2-24\sqrt{3}\right)x=2\sqrt{3}-36$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 16.

$$\frac{16x^{2}+\left(2-24\sqrt{3}\right)x}{16}=\frac{2\sqrt{3}-36}{16}$$

A(z) 16 értékkel való osztás eltünteti a(z) 16 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2-24\sqrt{3}}{16}x=\frac{2\sqrt{3}-36}{16}$$

-24\sqrt{3}+2 elosztása a következővel: 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{8}\right)x=\frac{2\sqrt{3}-36}{16}$$

2\sqrt{3}-36 elosztása a következővel: 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{8}\right)x=\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{9}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{8} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{16}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{16} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{8}\right)x+\left(-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{16}.

$$x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{8}\right)x-\frac{3\sqrt{3}}{32}+\frac{433}{256}=\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{9}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{32}+\frac{433}{256}$$

Összeadjuk a következőket: \frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{9}{4} és \frac{433}{256}-\frac{3\sqrt{3}}{32}.

$$x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{8}\right)x-\frac{3\sqrt{3}}{32}+\frac{433}{256}=\frac{\sqrt{3}}{32}-\frac{143}{256}$$

Tényezőkre x^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{8}\right)x-\frac{3\sqrt{3}}{32}+\frac{433}{256}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{32}-\frac{143}{256}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{32}-\frac{143}{256}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{16}=\frac{i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{16} x-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{16}=-\frac{i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{16}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: -\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{16}.

$$x=\frac{i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{16}+\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{16} x=-\frac{i\sqrt{143-8\sqrt{3}}}{16}+\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{16}$$