(2x+5)^2-9=0 megoldása

$$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } - 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=-4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x+5\right)^{2}).

$$4x^{2}+20x+25-9=0$$

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) 25 értéket. Az eredmény 16.

$$4x^{2}+20x+16=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x^{2}+5x+4=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+4 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=5 ab=1\times 4=4$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 4.

$$1,4 2,2$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+4=5 2+2=4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 5.

$$a=1 b=4$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+5x+4) \left(x^{2}+x\right)+\left(4x+4\right) alakban.

$$\left(x^{2}+x\right)+\left(4x+4\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$x\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x+1\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x+1=0 és a x+4=0.

$$x=-1 x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x+5\right)^{2}).

$$4x^{2}+20x+25-9=0$$

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) 25 értéket. Az eredmény 16.

$$4x^{2}+20x+16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 20 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\times 16}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 16.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-256}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és -256.

$$x=\frac{-20±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 144.

$$x=\frac{-20±12}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-20±12}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±12}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -20 és 12.

$$x=-\frac{8}{8}$$

-8 elosztása a következővel: 8.

$$x=-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±12}{8}). ± előjele negatív. 12 kivonása a következőből: -20.

$$x=-\frac{32}{8}$$

-32 elosztása a következővel: 8.

$$x=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-1 x=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x+5\right)^{2}).

$$4x^{2}+20x+25-9=0$$

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) 25 értéket. Az eredmény 16.

$$4x^{2}+20x+16=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$4x^{2}+20x=-16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+20x}{4}=-\frac{16}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{20}{4}x=-\frac{16}{4}$$

20 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+5x=-\frac{16}{4}$$

-16 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+5x=-4$$

Elosztjuk a(z) 5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -4 és \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=-1 x=-4$$