(2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205 megoldása

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x+4\right)^{2}).

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(3x-2\right)^{2}).

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

9x^{2}-12x+4 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Összevonjuk a következőket: -9x^{2} és -40x^{2}. Az eredmény -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 205.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Összeadjuk a következőket: -4 és 205. Az eredmény 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -5x és 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-35x+15x^{2} és 7+3x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Összevonjuk a következőket: 16x és -245x. Az eredmény -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és -49x^{2}. Az eredmény -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Összevonjuk a következőket: -229x és 12x. Az eredmény -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 201. Az eredmény 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Átrendezzük az egyenletet, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 217 állandónak, és q osztója a(z) 45 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény 45x^{2}-217. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$45x^{2}-217=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 45 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) -217 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Megoldjuk az egyenletet (45x^{2}-217=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$