(2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16) megoldása

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-7$$

$$x=4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x+3 és x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-4 és x+40), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és x^{2}. Az eredmény 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Összevonjuk a következőket: -32x és 36x. Az eredmény 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kivonjuk a(z) 160 értékből a(z) -48 értéket. Az eredmény -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x-8 és x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{3}.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Összevonjuk a következőket: 2x^{3} és -2x^{3}. Az eredmény 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 32x.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Összevonjuk a következőket: 4x és 32x. Az eredmény 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 8x^{2}.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és 8x^{2}. Az eredmény 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 128.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Kivonjuk a(z) 128 értékből a(z) -208 értéket. Az eredmény -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-28 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 3.

$$a=-4 b=7$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+3x-28) \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) alakban.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 7 faktort.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-4=0 és a x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x+3 és x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-4 és x+40), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és x^{2}. Az eredmény 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Összevonjuk a következőket: -32x és 36x. Az eredmény 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kivonjuk a(z) 160 értékből a(z) -48 értéket. Az eredmény -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x-8 és x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{3}.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Összevonjuk a következőket: 2x^{3} és -2x^{3}. Az eredmény 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 32x.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Összevonjuk a következőket: 4x és 32x. Az eredmény 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 8x^{2}.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és 8x^{2}. Az eredmény 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 128.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Kivonjuk a(z) 128 értékből a(z) -208 értéket. Az eredmény -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) 36 értéket b-be és a(z) -336 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 1296 és 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-36±132}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -36 és 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

96 elosztása a következővel: 24.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-36±132}{24}). ± előjele negatív. 132 kivonása a következőből: -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

-168 elosztása a következővel: 24.

$$x=-7$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=-7$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x+3 és x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-4 és x+40), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és x^{2}. Az eredmény 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Összevonjuk a következőket: -32x és 36x. Az eredmény 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kivonjuk a(z) 160 értékből a(z) -48 értéket. Az eredmény -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x-8 és x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{3}.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Összevonjuk a következőket: 2x^{3} és -2x^{3}. Az eredmény 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 32x.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Összevonjuk a következőket: 4x és 32x. Az eredmény 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 8x^{2}.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és 8x^{2}. Az eredmény 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 208.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Összeadjuk a következőket: 128 és 208. Az eredmény 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}+36x=336$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

36 elosztása a következővel: 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

336 elosztása a következővel: 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 28 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=4 x=-7$$