(2x+1)(x-3)=114 megoldása

$$( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 114$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$x=9$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x+1 és x-3), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2x^{2}-5x-3=114$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 114.

$$2x^{2}-5x-3-114=0$$

Kivonjuk a(z) 114 értékből a(z) -3 értéket. Az eredmény -117.

$$2x^{2}-5x-117=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -117 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-117\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-117\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-117\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -117.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+936}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 936.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{961}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 961.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±31}{2\times 2}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±31}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{5±31}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±31}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és 31.

$$x=\frac{36}{4}$$

36 elosztása a következővel: 4.

$$x=9$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±31}{4}). ± előjele negatív. 31 kivonása a következőből: 5.

$$x=-\frac{26}{4}$$

A törtet (\frac{-26}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{13}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=9 x=-\frac{13}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x+1 és x-3), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2x^{2}-5x-3=114$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 3.

$$2x^{2}-5x=114+3$$

Összeadjuk a következőket: 114 és 3. Az eredmény 117.

$$2x^{2}-5x=117$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{117}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{117}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{117}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{117}{2}+\frac{25}{16}$$

\frac{117}{2} és \frac{25}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{961}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{961}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{31}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{31}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{4}.

$$x=9 x=-\frac{13}{2}$$