(2k-3)^2-4(3-2k)<0 megoldása

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2k-3\right)^{2}).

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -4 és 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Kivonjuk a(z) 12 értékből a(z) 9 értéket. Az eredmény -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Összevonjuk a következőket: -12k és 8k. Az eredmény -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. Egy másodfokú polinom az ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) átalakítással bontható tényezőkre, ahol x_{1} és x_{2} a másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{4±8}{8}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (k-\frac{3}{2} és k+\frac{1}{2}) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy k-\frac{3}{2} eredménye pozitív, k+\frac{1}{2} eredménye pedig negatív.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Ez minden k esetén hamis.

$$k\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy k+\frac{1}{2} eredménye pozitív, k-\frac{3}{2} eredménye pedig negatív.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$