(2-x)^2+(3x+1)(3x-1)-1/2[8-5x+5x(2x+1)]=0 megoldása

$$( 2 - x ) ^ { 2 } + ( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 ) - \frac { 1 } { 2 } [ 8 - 5 x + 5 x ( 2 x + 1 ) ] = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2-x\right)^{2}).

$$4-4x+x^{2}+\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Vegyük a következőt: \left(3x+1\right)\left(3x-1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x\right)^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Kifejtjük a következőt: \left(3x\right)^{2}.

$$4-4x+x^{2}+3^{2}x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Kiszámoljuk a(z) 3 érték 2. hatványát. Az eredmény 9.

$$4-4x+x^{2}+9x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és 9x^{2}. Az eredmény 10x^{2}.

$$4-4x+10x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény 3.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5x és 2x+1.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+10x^{2}+5x\right)=0$$

Összevonjuk a következőket: -5x és 5x. Az eredmény 0.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8+10x^{2}\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{2} és 8+10x^{2}.

$$3-4x+10x^{2}-4-5x^{2}=0$$

Kivonjuk a(z) 4 értékből a(z) 3 értéket. Az eredmény -1.

$$-1-4x+10x^{2}-5x^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 10x^{2} és -5x^{2}. Az eredmény 5x^{2}.

$$-1-4x+5x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Az egyetlen ilyen pár a rendszermegoldás.

$$a=-5 b=1$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-4x-1) \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Emelje ki a(z) 5x elemet a(z) 5x^{2}-5x kifejezésből.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2-x\right)^{2}).

$$4-4x+x^{2}+\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Vegyük a következőt: \left(3x+1\right)\left(3x-1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x\right)^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Kifejtjük a következőt: \left(3x\right)^{2}.

$$4-4x+x^{2}+3^{2}x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Kiszámoljuk a(z) 3 érték 2. hatványát. Az eredmény 9.

$$4-4x+x^{2}+9x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és 9x^{2}. Az eredmény 10x^{2}.

$$4-4x+10x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény 3.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5x és 2x+1.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+10x^{2}+5x\right)=0$$

Összevonjuk a következőket: -5x és 5x. Az eredmény 0.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8+10x^{2}\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{2} és 8+10x^{2}.

$$3-4x+10x^{2}-4-5x^{2}=0$$

Kivonjuk a(z) 4 értékből a(z) 3 értéket. Az eredmény -1.

$$-1-4x+10x^{2}-5x^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 10x^{2} és -5x^{2}. Az eredmény 5x^{2}.

$$-1-4x+5x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

-4 ellentettje 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±6}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

10 elosztása a következővel: 10.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±6}{10}). ± előjele negatív. 6 kivonása a következőből: 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

A törtet (\frac{-2}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2-x\right)^{2}).

$$4-4x+x^{2}+\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Vegyük a következőt: \left(3x+1\right)\left(3x-1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x\right)^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Kifejtjük a következőt: \left(3x\right)^{2}.

$$4-4x+x^{2}+3^{2}x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Kiszámoljuk a(z) 3 érték 2. hatványát. Az eredmény 9.

$$4-4x+x^{2}+9x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és 9x^{2}. Az eredmény 10x^{2}.

$$4-4x+10x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény 3.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 5x és 2x+1.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+10x^{2}+5x\right)=0$$

Összevonjuk a következőket: -5x és 5x. Az eredmény 0.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8+10x^{2}\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -\frac{1}{2} és 8+10x^{2}.

$$3-4x+10x^{2}-4-5x^{2}=0$$

Kivonjuk a(z) 4 értékből a(z) 3 értéket. Az eredmény -1.

$$-1-4x+10x^{2}-5x^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 10x^{2} és -5x^{2}. Az eredmény 5x^{2}.

$$-1-4x+5x^{2}=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 1. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$-4x+5x^{2}=1$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-4x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{4}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{2}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{2}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{2}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

\frac{1}{5} és \frac{4}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{2}{5}.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$