(15-x)(5x+500)=4250 megoldása

$$( 15 - x ) ( 5 x + 500 ) = 4250$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{5 \sqrt{393} - 85}{2} \approx 7,060569004$$

$$x=\frac{-5\sqrt{393}-85}{2}\approx -92,060569004$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (15-x és 5x+500), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-425x+7500-5x^{2}=4250$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4250.

$$-425x+7500-5x^{2}-4250=0$$

Kivonjuk a(z) 4250 értékből a(z) 7500 értéket. Az eredmény 3250.

$$-425x+3250-5x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-5x^{2}-425x+3250=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -5 értéket a-ba, a(z) -425 értéket b-be és a(z) 3250 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±\sqrt{\left(-425\right)^{2}-4\left(-5\right)\times 3250}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -425.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±\sqrt{180625-4\left(-5\right)\times 3250}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -5.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±\sqrt{180625+20\times 3250}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 20 és 3250.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±\sqrt{180625+65000}}{2\left(-5\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 180625 és 65000.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±\sqrt{245625}}{2\left(-5\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 245625.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±25\sqrt{393}}{2\left(-5\right)}$$

-425 ellentettje 425.

$$x=\frac{425±25\sqrt{393}}{2\left(-5\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -5.

$$x=\frac{425±25\sqrt{393}}{-10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{425±25\sqrt{393}}{-10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 425 és 25\sqrt{393}.

$$x=\frac{25\sqrt{393}+425}{-10}$$

425+25\sqrt{393} elosztása a következővel: -10.

$$x=\frac{-5\sqrt{393}-85}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{425±25\sqrt{393}}{-10}). ± előjele negatív. 25\sqrt{393} kivonása a következőből: 425.

$$x=\frac{425-25\sqrt{393}}{-10}$$

425-25\sqrt{393} elosztása a következővel: -10.

$$x=\frac{5\sqrt{393}-85}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-5\sqrt{393}-85}{2} x=\frac{5\sqrt{393}-85}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (15-x és 5x+500), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-425x+7500-5x^{2}=4250$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 7500.

$$-425x-5x^{2}=4250-7500$$

Kivonjuk a(z) 7500 értékből a(z) 4250 értéket. Az eredmény -3250.

$$-425x-5x^{2}=-3250$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-5x^{2}-425x=-3250$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -5.

$$\frac{-5x^{2}-425x}{-5}=-\frac{3250}{-5}$$

A(z) -5 értékkel való osztás eltünteti a(z) -5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{425}{-5}\right)x=-\frac{3250}{-5}$$

-425 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}+85x=-\frac{3250}{-5}$$

-3250 elosztása a következővel: -5.

$$x^{2}+85x=650$$

Elosztjuk a(z) 85 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{85}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{85}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+85x+\left(\frac{85}{2}\right)^{2}=650+\left(\frac{85}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{85}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+85x+\frac{7225}{4}=650+\frac{7225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 650 és \frac{7225}{4}.

$$x^{2}+85x+\frac{7225}{4}=\frac{9825}{4}$$

A(z) x^{2}+85x+\frac{7225}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{85}{2}\right)^{2}=\frac{9825}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{85}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9825}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{85}{2}=\frac{5\sqrt{393}}{2} x+\frac{85}{2}=-\frac{5\sqrt{393}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{85}{2}.

$$x=\frac{5\sqrt{393}-85}{2} x=\frac{-5\sqrt{393}-85}{2}$$