(x^2-5x+6/x-3)-1:(x^2-4/5)=0 megoldása

$$( \frac { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } { x - 3 } ) - 1 : ( \frac { x ^ { 2 } - 4 } { 5 } ) = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618033989$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\approx -1,618033989$$

A megoldás lépései

A változó (x) értéke nem lehet 3, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: x-3.

$$x^{2}-5x+6-5\left(x-3\right)\left(x^{2}-4\right)^{-1}=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -5 és x-3.

$$x^{2}-5x+6+\left(-5x+15\right)\left(x^{2}-4\right)^{-1}=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -5x+15 és \left(x^{2}-4\right)^{-1}.

$$x^{2}-5x+6-5x\left(x^{2}-4\right)^{-1}+15\left(x^{2}-4\right)^{-1}=0$$

Átrendezzük a tagokat.

$$x^{2}-5x+6-5\times \frac{1}{x^{2}-4}x+15\times \frac{1}{x^{2}-4}=0$$

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -2,2. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: \left(x-2\right)\left(x+2\right).

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)x^{2}-5x\left(x-2\right)\left(x+2\right)+\left(x-2\right)\left(x+2\right)\times 6-5x+15\times 1=0$$

Elvégezzük a szorzást.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)x^{2}-5x\left(x-2\right)\left(x+2\right)+\left(x-2\right)\left(x+2\right)\times 6-5x+15=0$$

Vegyük a következőt: \left(x-2\right)\left(x+2\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$\left(x^{2}-4\right)x^{2}-5x\left(x-2\right)\left(x+2\right)+\left(x-2\right)\left(x+2\right)\times 6-5x+15=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x^{2}-4 és x^{2}.

$$x^{4}-4x^{2}-5x\left(x-2\right)\left(x+2\right)+\left(x-2\right)\left(x+2\right)\times 6-5x+15=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -5x és x-2.

$$x^{4}-4x^{2}+\left(-5x^{2}+10x\right)\left(x+2\right)+\left(x-2\right)\left(x+2\right)\times 6-5x+15=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-5x^{2}+10x és x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{4}-4x^{2}-5x^{3}+20x+\left(x-2\right)\left(x+2\right)\times 6-5x+15=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-2 és x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{4}-4x^{2}-5x^{3}+20x+\left(x^{2}-4\right)\times 6-5x+15=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x^{2}-4 és 6.

$$x^{4}-4x^{2}-5x^{3}+20x+6x^{2}-24-5x+15=0$$

Összevonjuk a következőket: -4x^{2} és 6x^{2}. Az eredmény 2x^{2}.

$$x^{4}+2x^{2}-5x^{3}+20x-24-5x+15=0$$

Összevonjuk a következőket: 20x és -5x. Az eredmény 15x.

$$x^{4}+2x^{2}-5x^{3}+15x-24+15=0$$

Összeadjuk a következőket: -24 és 15. Az eredmény -9.

$$x^{4}+2x^{2}-5x^{3}+15x-9=0$$

Átrendezzük az egyenletet, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$x^{4}-5x^{3}+2x^{2}+15x-9=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -9 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-5x^{3}+2x^{2}+15x-9 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény x^{3}-2x^{2}-4x+3. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}-2x^{2}-4x+3=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 3 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-2x^{2}-4x+3 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény x^{2}+x-1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+x-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+x-1=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Azon értékek eltávolítása, amelyeket a változó nem vehet fel.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=3 x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

A változó (x) értéke nem lehet 3.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$