(5/2y+7/2)^2+y^2+3(5/2y+1/2)+4y-1=0 megoldása

$$( \frac { 5 } { 2 } y + \frac { 7 } { 2 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 3 ( \frac { 5 } { 2 } y + \frac { 1 } { 2 } ) + 4 y - 1 = 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=\frac{\sqrt{1885}}{29}-2\approx -0,502876321$$

$$y=-\frac{\sqrt{1885}}{29}-2\approx -3,497123679$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)^{2}).

$$\frac{25}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+y^{2}+3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y-1=0$$

Összevonjuk a következőket: \frac{25}{4}y^{2} és y^{2}. Az eredmény \frac{29}{4}y^{2}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y-1=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és \frac{5}{2}y+\frac{1}{2}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+\frac{15}{2}y+\frac{3}{2}+4y-1=0$$

Összevonjuk a következőket: \frac{35}{2}y és \frac{15}{2}y. Az eredmény 25y.

$$\frac{29}{4}y^{2}+25y+\frac{49}{4}+\frac{3}{2}+4y-1=0$$

Összeadjuk a következőket: \frac{49}{4} és \frac{3}{2}. Az eredmény \frac{55}{4}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+25y+\frac{55}{4}+4y-1=0$$

Összevonjuk a következőket: 25y és 4y. Az eredmény 29y.

$$\frac{29}{4}y^{2}+29y+\frac{55}{4}-1=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) \frac{55}{4} értéket. Az eredmény \frac{51}{4}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+29y+\frac{51}{4}=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) \frac{29}{4} értéket a-ba, a(z) 29 értéket b-be és a(z) \frac{51}{4} értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times \frac{29}{4}\times \frac{51}{4}}}{2\times \frac{29}{4}}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 29.

$$y=\frac{-29±\sqrt{841-4\times \frac{29}{4}\times \frac{51}{4}}}{2\times \frac{29}{4}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és \frac{29}{4}.

$$y=\frac{-29±\sqrt{841-29\times \frac{51}{4}}}{2\times \frac{29}{4}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -29 és \frac{51}{4}.

$$y=\frac{-29±\sqrt{841-\frac{1479}{4}}}{2\times \frac{29}{4}}$$

Összeadjuk a következőket: 841 és -\frac{1479}{4}.

$$y=\frac{-29±\sqrt{\frac{1885}{4}}}{2\times \frac{29}{4}}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: \frac{1885}{4}.

$$y=\frac{-29±\frac{\sqrt{1885}}{2}}{2\times \frac{29}{4}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{29}{4}.

$$y=\frac{-29±\frac{\sqrt{1885}}{2}}{\frac{29}{2}}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-29±\frac{\sqrt{1885}}{2}}{\frac{29}{2}}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -29 és \frac{\sqrt{1885}}{2}.

$$y=\frac{\frac{\sqrt{1885}}{2}-29}{\frac{29}{2}}$$

-29+\frac{\sqrt{1885}}{2} elosztása a következővel: \frac{29}{2}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -29+\frac{\sqrt{1885}}{2} értéket megszorozzuk a(z) \frac{29}{2} reciprokával.

$$y=\frac{\sqrt{1885}}{29}-2$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-29±\frac{\sqrt{1885}}{2}}{\frac{29}{2}}). ± előjele negatív. \frac{\sqrt{1885}}{2} kivonása a következőből: -29.

$$y=\frac{-\frac{\sqrt{1885}}{2}-29}{\frac{29}{2}}$$

-29-\frac{\sqrt{1885}}{2} elosztása a következővel: \frac{29}{2}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -29-\frac{\sqrt{1885}}{2} értéket megszorozzuk a(z) \frac{29}{2} reciprokával.

$$y=-\frac{\sqrt{1885}}{29}-2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=\frac{\sqrt{1885}}{29}-2 y=-\frac{\sqrt{1885}}{29}-2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)^{2}).

$$\frac{25}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+y^{2}+3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y-1=0$$

Összevonjuk a következőket: \frac{25}{4}y^{2} és y^{2}. Az eredmény \frac{29}{4}y^{2}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y-1=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és \frac{5}{2}y+\frac{1}{2}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+\frac{15}{2}y+\frac{3}{2}+4y-1=0$$

Összevonjuk a következőket: \frac{35}{2}y és \frac{15}{2}y. Az eredmény 25y.

$$\frac{29}{4}y^{2}+25y+\frac{49}{4}+\frac{3}{2}+4y-1=0$$

Összeadjuk a következőket: \frac{49}{4} és \frac{3}{2}. Az eredmény \frac{55}{4}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+25y+\frac{55}{4}+4y-1=0$$

Összevonjuk a következőket: 25y és 4y. Az eredmény 29y.

$$\frac{29}{4}y^{2}+29y+\frac{55}{4}-1=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) \frac{55}{4} értéket. Az eredmény \frac{51}{4}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+29y+\frac{51}{4}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{51}{4}. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$\frac{29}{4}y^{2}+29y=-\frac{51}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{29}{4}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$\frac{\frac{29}{4}y^{2}+29y}{\frac{29}{4}}=-\frac{\frac{51}{4}}{\frac{29}{4}}$$

A(z) \frac{29}{4} értékkel való osztás eltünteti a(z) \frac{29}{4} értékkel való szorzást.

$$y^{2}+\frac{29}{\frac{29}{4}}y=-\frac{\frac{51}{4}}{\frac{29}{4}}$$

29 elosztása a következővel: \frac{29}{4}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) 29 értéket megszorozzuk a(z) \frac{29}{4} reciprokával.

$$y^{2}+4y=-\frac{\frac{51}{4}}{\frac{29}{4}}$$

-\frac{51}{4} elosztása a következővel: \frac{29}{4}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -\frac{51}{4} értéket megszorozzuk a(z) \frac{29}{4} reciprokával.

$$y^{2}+4y=-\frac{51}{29}$$

Elosztjuk a(z) 4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 2. Ezután hozzáadjuk 2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}+4y+2^{2}=-\frac{51}{29}+2^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$y^{2}+4y+4=-\frac{51}{29}+4$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{51}{29} és 4.

$$y^{2}+4y+4=\frac{65}{29}$$

Tényezőkre y^{2}+4y+4. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y+2\right)^{2}=\frac{65}{29}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{29}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y+2=\frac{\sqrt{1885}}{29} y+2=-\frac{\sqrt{1885}}{29}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$y=\frac{\sqrt{1885}}{29}-2 y=-\frac{\sqrt{1885}}{29}-2$$