z^2+27=10z megoldása

$${ z }^{ 2 } +27 = 10z$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z=5+\sqrt{2}i\approx 5+1,414213562i$$

$$z=-\sqrt{2}i+5\approx 5-1,414213562i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 10z.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$z^{2}-10z+27=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) 27 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 27}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 27.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-108}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és -108.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -8.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

-10 ellentettje 10.

$$z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 10 és 2i\sqrt{2}.

$$z=\frac{10+2\sqrt{2}i}{2}$$

10+2i\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$z=5+\sqrt{2}i$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{2} kivonása a következőből: 10.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}i+10}{2}$$

10-2i\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$z=-\sqrt{2}i+5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 10z.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 27. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$z^{2}-10z=-27$$

Elosztjuk a(z) -10 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -5. Ezután hozzáadjuk -5 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-27+\left(-5\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$z^{2}-10z+25=-27+25$$

Összeadjuk a következőket: -27 és 25.

$$z^{2}-10z+25=-2$$

Tényezőkre z^{2}-10z+25. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(z-5\right)^{2}=-2$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Egyszerűsítünk.

$$z-5=\sqrt{2}i z-5=-\sqrt{2}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$