y^2-15y=-54 megoldása

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=6$$

$$y=9$$

A tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 54.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Az egyenlet megoldásához y^{2}-15y+54 a képlet használatával y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-15 ab=54$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -15.

$$a=-9 b=-6$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(y+a\right)\left(y+b\right) kifejezést.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a y-9=0 és a y-6=0.

$$y=9 y=6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 54.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk y^{2}+ay+by+54 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -15.

$$a=-9 b=-6$$

Átírjuk az értéket (y^{2}-15y+54) \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right) alakban.

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

A y a második csoportban lévő első és -6 faktort.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) y-9 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a y-9=0 és a y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$y^{2}-15y=-54$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 54.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -54 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

-54 kivonása a következőből: 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -15 értéket b-be és a(z) 54 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 225 és -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15 ellentettje 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{15±3}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 15 és 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

18 elosztása a következővel: 2.

$$y=9$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{15±3}{2}). ± előjele negatív. 3 kivonása a következőből: 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

12 elosztása a következővel: 2.

$$y=6$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=9 y=6$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$y^{2}-15y=-54$$

Elosztjuk a(z) -15 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -54 és \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Tényezőkre y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{2}.

$$y=9 y=6$$