x^6=((6x^3)-5^3) megoldása

$${ x }^{ 6 } =((6 { x }^{ 3 } )- { 5 }^{ 3 } )$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x\in \sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Kiszámoljuk a(z) 5 érték 3. hatványát. Az eredmény 125.

$$x^{6}=6x^{3}-125$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6x^{3}.

$$x^{6}-6x^{3}=-125$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 125.

$$x^{6}-6x^{3}+125=0$$

t behelyettesítése x^{3} helyére.

$$t^{2}-6t+125=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) 125 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 125}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=3+2\sqrt{29}i t=-2\sqrt{29}i+3$$

Mivel x=t^{3}, a megoldásokat úgy kapjuk meg, hogy megoldjuk az egyenletet minden t tagra.

$$x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$