x^6+1=x^4+x^2 megoldása

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=1$$

A megoldás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{4}.

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

Átrendezzük az egyenletet, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 1 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{5}+x^{4}-x-1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -1 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{5}+x^{4}-x-1 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 1 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{3}+x^{2}+x+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 1 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+x^{2}+x+1 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{2}+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-1$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$