x^4-4x^2+3 megoldása

$${ x }^{ 4 } -4 { x }^{ 2 } +3$$

Szorzattá alakítás

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

A megoldás lépései

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{4}-4x^{2}+3=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 3 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-4x^{2}+3 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+x^{2}-3x-3. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+x^{2}-3x-3=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -3 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+x^{2}-3x-3 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{2}-3. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}-3=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\sqrt{3} x=\sqrt{3}$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel. A(z) x^{2}-3 polinom nincs tényezőkre bontva, mert nem rendelkezik racionális gyökökkel.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Kiértékelés

$$x^{4}-4x^{2}+3$$