x^4-18x^2+81 megoldása

$${ x }^{ 4 } -18 { x }^{ 2 } +81$$

Szorzattá alakítás

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

A megoldás lépései

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{4}-18x^{2}+81=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 81 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±81,±27,±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}-18x^{2}+81 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény x^{3}+3x^{2}-9x-27. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+3x^{2}-9x-27=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -27 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±27,±9,±3,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=3$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+3x^{2}-9x-27 értéket a(z) x-3 értékkel. Az eredmény x^{2}+6x+9. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+6x+9=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-6±0}{2}$$

Azonosak a megoldások.

$$x=-3$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel.

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Kiértékelés

$$\left(x^{2}-9\right)^{2}$$