x^4+x^3+x^2+x=left(x+1right)^2 megoldása

$${ x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } + { x }^{ 2 } +x = { \left(x+1 \right) }^{ 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=1$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=x^{2}+2x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-x^{2}=2x+1$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 0.

$$x^{4}+x^{3}+x=2x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$x^{4}+x^{3}+x-2x=1$$

Összevonjuk a következőket: x és -2x. Az eredmény -x.

$$x^{4}+x^{3}-x=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$x^{4}+x^{3}-x-1=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -1 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+x^{3}-x-1 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+2x^{2}+2x+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 1 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+2x^{2}+2x+1 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{2}+x+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+x+1=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-1 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=1$$

A megoldás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=x^{2}+2x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-x^{2}=2x+1$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 0.

$$x^{4}+x^{3}+x=2x+1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x.

$$x^{4}+x^{3}+x-2x=1$$

Összevonjuk a következőket: x és -2x. Az eredmény -x.

$$x^{4}+x^{3}-x=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$x^{4}+x^{3}-x-1=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -1 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+x^{3}-x-1 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+2x^{2}+2x+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 1 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+2x^{2}+2x+1 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{2}+x+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-1$$