x^3-5x^2+7x+13=0 megoldása

$${ x }^{ 3 } -5 { x }^{ 2 } +7x+13=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=3-2i$$

$$x=-1$$

$$x=3+2i$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 13 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±13,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-5x^{2}+7x+13 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{2}-6x+13. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-6x+13=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) 13 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{6±\sqrt{-16}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}-6x+13=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=3-2i x=3+2i$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-1 x=3-2i x=3+2i$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 13 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±13,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}-5x^{2}+7x+13 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény x^{2}-6x+13. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-6x+13=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) 13 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{6±\sqrt{-16}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-1$$