x^3=-8 megoldása

$${ x }^{ 3 } =-8$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-\sqrt{3}i+1\approx 1-1,732050808i$$

$$x=-2$$

$$x=1+\sqrt{3}i\approx 1+1,732050808i$$

A megoldás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 8.

$$x^{3}+8=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 8 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+8 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{2}-2x+4. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-2x+4=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{2±\sqrt{-12}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}-2x+4=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\sqrt{3}i+1 x=1+\sqrt{3}i$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-2 x=-\sqrt{3}i+1 x=1+\sqrt{3}i$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-2$$

A megoldás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 8.

$$x^{3}+8=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 8 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+8 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{2}-2x+4. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}-2x+4=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{2±\sqrt{-12}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-2$$