x^3+5x^2+4x+20=0 megoldása

$${ x }^{ 3 } +5 { x }^{ 2 } +4x+20 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-5$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 20 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-5$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+5x^{2}+4x+20 értéket a(z) x+5 értékkel. Az eredmény x^{2}+4. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+4=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-5$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=2i$$

$$x=-2i$$

$$x=-5$$