x^3+3x^2-3x-10=0 megoldása

$${ x }^{ 3 } +3 { x }^{ 2 } -3x-10=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{21} - 1}{2} \approx 1,791287847$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-1}{2}\approx -2,791287847$$

$$x=-2$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -10 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±10,±5,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+3x^{2}-3x-10 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{2}+x-5. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+x-5=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+x-5=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-1}{2} x=\frac{\sqrt{21}-1}{2}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-2 x=\frac{-\sqrt{21}-1}{2} x=\frac{\sqrt{21}-1}{2}$$