x^3+1/x^3=3 megoldása

$${ x }^{ 3 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } } =3$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x\in \frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: x^{3}.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy összeadjuk a kitevőiket. 3 és 3 összege 6.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{3}.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

t behelyettesítése x^{3} helyére.

$$t^{2}-3t+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Mivel x=t^{3}, a megoldásokat úgy kapjuk meg, hogy megoldjuk az egyenletet minden t tagra.

$$x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$

A változó (x) értéke nem lehet 0.

$$x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}\approx 0,72556263$$

$$x = \frac{2 ^ {\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\sqrt{5} + 3}}{2} \approx 1,378240772$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: x^{3}.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy összeadjuk a kitevőiket. 3 és 3 összege 6.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3x^{3}.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

t behelyettesítése x^{3} helyére.

$$t^{2}-3t+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Mivel x=t^{3}, a megoldások megtalálásához x=\sqrt[3]{t} értékét minden egyes t értékre vonatkozóan kiértékelve kapjuk meg.

$$x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$