x^2-x-6<=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } -x-6 < =0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-2,3\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$x^{2}-x-6=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -6 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-6\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{1±5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±5}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=3 x=-2$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-3 és x+2) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-3 eredménye pozitív, x+2 eredménye pedig negatív.

$$x-3>0 x+2<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x+2 eredménye pozitív, x-3 eredménye pedig negatív.

$$x+2>0 x-3<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(-2,3\right).

$$x\in \left(-2,3\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(-2,3\right)$$