x^2-x-1>0 megoldása

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$x^{2}-x-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} és x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} és x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} eredménye egyaránt negatív.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} és x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} eredménye egyaránt pozitív.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$