x^2-7x-9=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } -7x-9=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{2} \approx 8,109772229$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}\approx -1,109772229$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-7x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-9\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+36}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 36.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{85}}{2}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{85}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±\sqrt{85}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és \sqrt{85}.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±\sqrt{85}}{2}). ± előjele negatív. \sqrt{85} kivonása a következőből: 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-7x-9=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$x^{2}-7x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-7x=-\left(-9\right)$$

-9 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}-7x=9$$

Elosztjuk a(z) -7 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=9+\frac{49}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{85}{4}$$

A(z) x^{2}-7x+\frac{49}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{85}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{85}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{85}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{85}}{2}$$