x^2-6x-11=4 megoldása

$${ x }^{ 2 } -6x-11=4$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2\sqrt{6}+3\approx 7,898979486$$

$$x=3-2\sqrt{6}\approx -1,898979486$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-6x-11=4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$x^{2}-6x-11-4=4-4$$

Ha kivonjuk a(z) 4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-6x-11-4=0$$

4 kivonása a következőből: -11.

$$x^{2}-6x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-15\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-15\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+60}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 60.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{96}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 96.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{6}}{2}$$

-6 ellentettje 6.

$$x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 6 és 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+6}{2}$$

6+4\sqrt{6} elosztása a következővel: 2.

$$x=2\sqrt{6}+3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2}). ± előjele negatív. 4\sqrt{6} kivonása a következőből: 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{6}}{2}$$

6-4\sqrt{6} elosztása a következővel: 2.

$$x=3-2\sqrt{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-6x-11=4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 11.

$$x^{2}-6x-11-\left(-11\right)=4-\left(-11\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -11 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-6x=4-\left(-11\right)$$

-11 kivonása a következőből: 4.

$$x^{2}-6x=15$$

Elosztjuk a(z) -6 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -3. Ezután hozzáadjuk -3 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=15+\left(-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x^{2}-6x+9=15+9$$

Összeadjuk a következőket: 15 és 9.

$$x^{2}-6x+9=24$$

Tényezőkre x^{2}-6x+9. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-3\right)^{2}=24$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{24}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-3=2\sqrt{6} x-3=-2\sqrt{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$