x^2-6x+11=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) 11 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

-6 ellentettje 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 6 és 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

6+2i\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{2} kivonása a következőből: 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

6-2i\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 11.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Ha kivonjuk a(z) 11 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-6x=-11$$

Elosztjuk a(z) -6 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -3. Ezután hozzáadjuk -3 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Összeadjuk a következőket: -11 és 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

A(z) x^{2}-6x+9 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$