x^2-4x-5=2 megoldása

$${ x }^{ 2 } -4x-5 = 2$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{11}+2\approx 5,31662479$$

$$x=2-\sqrt{11}\approx -1,31662479$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-4x-5=2$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$x^{2}-4x-5-2=2-2$$

Ha kivonjuk a(z) 2 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-4x-5-2=0$$

2 kivonása a következőből: -5.

$$x^{2}-4x-7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+28}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 28.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{44}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 44.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{11}}{2}$$

-4 ellentettje 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}+4}{2}$$

4+2\sqrt{11} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{11}+2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{11} kivonása a következőből: 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{11}}{2}$$

4-2\sqrt{11} elosztása a következővel: 2.

$$x=2-\sqrt{11}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{11}+2 x=2-\sqrt{11}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-4x-5=2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=2-\left(-5\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-4x=2-\left(-5\right)$$

-5 kivonása a következőből: 2.

$$x^{2}-4x=7$$

Elosztjuk a(z) -4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -2. Ezután hozzáadjuk -2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=7+\left(-2\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x^{2}-4x+4=7+4$$

Összeadjuk a következőket: 7 és 4.

$$x^{2}-4x+4=11$$

A(z) x^{2}-4x+4 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-2\right)^{2}=11$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-2=\sqrt{11} x-2=-\sqrt{11}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$x=\sqrt{11}+2 x=2-\sqrt{11}$$