x^2-4x+16=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } -4x+16=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=2+2\sqrt{3}i\approx 2+3,464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i+2\approx 2-3,464101615i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-4x+16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 16}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-64}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-48}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -48.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{3}i}{2}$$

-4 ellentettje 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{3}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±4\sqrt{3}i}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 4i\sqrt{3}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{3}i}{2}$$

4+4i\sqrt{3} elosztása a következővel: 2.

$$x=2+2\sqrt{3}i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±4\sqrt{3}i}{2}). ± előjele negatív. 4i\sqrt{3} kivonása a következőből: 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}i+4}{2}$$

4-4i\sqrt{3} elosztása a következővel: 2.

$$x=-2\sqrt{3}i+2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2+2\sqrt{3}i x=-2\sqrt{3}i+2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-4x+16=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 16.

$$x^{2}-4x+16-16=-16$$

Ha kivonjuk a(z) 16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-4x=-16$$

Elosztjuk a(z) -4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -2. Ezután hozzáadjuk -2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-16+\left(-2\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x^{2}-4x+4=-16+4$$

Összeadjuk a következőket: -16 és 4.

$$x^{2}-4x+4=-12$$

A(z) x^{2}-4x+4 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-2\right)^{2}=-12$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-12}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-2=2\sqrt{3}i x-2=-2\sqrt{3}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$x=2+2\sqrt{3}i x=-2\sqrt{3}i+2$$