x^2-4x+1=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } -4x+1=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-4 ellentettje 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

4+2\sqrt{3} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{3} kivonása a következőből: 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

4-2\sqrt{3} elosztása a következővel: 2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-4x=-1$$

Elosztjuk a(z) -4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -2. Ezután hozzáadjuk -2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Összeadjuk a következőket: -1 és 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Tényezőkre x^{2}-4x+4. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$