x^2-3x+1<0 megoldása

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} és x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} eredménye pozitív, x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} eredménye pozitív, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$