x^2-2x-3leq0 megoldása

$${ x }^{ 2 } -2x-3 \leq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{2±4}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±4}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=3 x=-1$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)\leq 0$$

A szorzat csak akkor ≤0, ha a két érték (x-3 és x+1) közül az egyik ≥0, a másik pedig ≤0. Tegyük fel, hogy x-3\geq 0 és x+1\leq 0.

$$x-3\geq 0 x+1\leq 0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-3\leq 0 és x+1\geq 0.

$$x+1\geq 0 x-3\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left[-1,3\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$