x^2-22x+65=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } -22x+65=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2\sqrt{14}+11\approx 18,483314774$$

$$x=11-2\sqrt{14}\approx 3,516685226$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-22x+65=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -22 értéket b-be és a(z) 65 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 65}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 65.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-260}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 484 és -260.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{224}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 224.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±4\sqrt{14}}{2}$$

-22 ellentettje 22.

$$x=\frac{22±4\sqrt{14}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{22±4\sqrt{14}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 22 és 4\sqrt{14}.

$$x=\frac{4\sqrt{14}+22}{2}$$

22+4\sqrt{14} elosztása a következővel: 2.

$$x=2\sqrt{14}+11$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{22±4\sqrt{14}}{2}). ± előjele negatív. 4\sqrt{14} kivonása a következőből: 22.

$$x=\frac{22-4\sqrt{14}}{2}$$

22-4\sqrt{14} elosztása a következővel: 2.

$$x=11-2\sqrt{14}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2\sqrt{14}+11 x=11-2\sqrt{14}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-22x+65=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 65.

$$x^{2}-22x+65-65=-65$$

Ha kivonjuk a(z) 65 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-22x=-65$$

Elosztjuk a(z) -22 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -11. Ezután hozzáadjuk -11 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-22x+\left(-11\right)^{2}=-65+\left(-11\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$x^{2}-22x+121=-65+121$$

Összeadjuk a következőket: -65 és 121.

$$x^{2}-22x+121=56$$

Tényezőkre x^{2}-22x+121. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-11\right)^{2}=56$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-11\right)^{2}}=\sqrt{56}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-11=2\sqrt{14} x-11=-2\sqrt{14}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 11.

$$x=2\sqrt{14}+11 x=11-2\sqrt{14}$$