x^2-10x+11=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } -10x+11=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{14}+5\approx 8,741657387$$

$$x=5-\sqrt{14}\approx 1,258342613$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}-10x+11=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) 11 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és -44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{56}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 56.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{14}}{2}$$

-10 ellentettje 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 10 és 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+10}{2}$$

10+2\sqrt{14} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{14}+5$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{14} kivonása a következőből: 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{14}}{2}$$

10-2\sqrt{14} elosztása a következővel: 2.

$$x=5-\sqrt{14}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}-10x+11=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 11.

$$x^{2}-10x+11-11=-11$$

Ha kivonjuk a(z) 11 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}-10x=-11$$

Elosztjuk a(z) -10 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -5. Ezután hozzáadjuk -5 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-11+\left(-5\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x^{2}-10x+25=-11+25$$

Összeadjuk a következőket: -11 és 25.

$$x^{2}-10x+25=14$$

Tényezőkre x^{2}-10x+25. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-5\right)^{2}=14$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-5=\sqrt{14} x-5=-\sqrt{14}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$