x^2-(7+x/2)((7+x/2)+x)=11 megoldása

$${ x }^{ 2 } -( \frac{ 7+x }{ 2 } )(( \frac{ 7+x }{ 2 } )+x)=11$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-3$$

$$x=31$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 7+x és \frac{7+x}{2}+x.

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Kifejezzük a hányadost (7\times \frac{7+x}{2}) egyetlen törtként.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Kifejezzük a hányadost (x\times \frac{7+x}{2}) egyetlen törtként.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

Mivel \frac{7\left(7+x\right)}{2} és \frac{x\left(7+x\right)}{2} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Elvégezzük a képletben (7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)) szereplő szorzásokat.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Összevonjuk a kifejezésben (49+7x+7x+x^{2}) szereplő egynemű tagokat.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

Összevonjuk a következőket: 2x^{2} és -x^{2}. Az eredmény x^{2}.

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

Elosztjuk a kifejezés (49+14x+x^{2}) minden tagját a(z) 2 értékkel. Az eredmény \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -\frac{1}{2}x^{2}. Az eredmény \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

Összevonjuk a következőket: -7x és -7x. Az eredmény -14x.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 22.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x-22=0$$

Kivonjuk a(z) 22 értékből a(z) -\frac{49}{2} értéket. Az eredmény -\frac{93}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{93}{2}-14x=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x-\frac{93}{2}=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) \frac{1}{2} értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) -\frac{93}{2} értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-2\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és -\frac{93}{2}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+93}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 93.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{289}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 289.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

-14 ellentettje 14.

$$x=\frac{14±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{1}{2}.

$$x=\frac{14±17}{1}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±17}{1}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 17.

$$x=\frac{31}{1}$$

31 elosztása a következővel: 1.

$$x=31$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±17}{1}). ± előjele negatív. 17 kivonása a következőből: 14.

$$x=-\frac{3}{1}$$

-3 elosztása a következővel: 1.

$$x=-3$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=31 x=-3$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 7+x és \frac{7+x}{2}+x.

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Kifejezzük a hányadost (7\times \frac{7+x}{2}) egyetlen törtként.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Kifejezzük a hányadost (x\times \frac{7+x}{2}) egyetlen törtként.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

Mivel \frac{7\left(7+x\right)}{2} és \frac{x\left(7+x\right)}{2} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Elvégezzük a képletben (7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)) szereplő szorzásokat.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Összevonjuk a kifejezésben (49+7x+7x+x^{2}) szereplő egynemű tagokat.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

Összevonjuk a következőket: 2x^{2} és -x^{2}. Az eredmény x^{2}.

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

Elosztjuk a kifejezés (49+14x+x^{2}) minden tagját a(z) 2 értékkel. Az eredmény \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -\frac{1}{2}x^{2}. Az eredmény \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

Összevonjuk a következőket: -7x és -7x. Az eredmény -14x.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{49}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=22+\frac{49}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 22 és \frac{49}{2}. Az eredmény \frac{93}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=\frac{93}{2}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}-14x}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

A(z) \frac{1}{2} értékkel való osztás eltünteti a(z) \frac{1}{2} értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{\frac{1}{2}}\right)x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

-14 elosztása a következővel: \frac{1}{2}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -14 értéket megszorozzuk a(z) \frac{1}{2} reciprokával.

$$x^{2}-28x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

\frac{93}{2} elosztása a következővel: \frac{1}{2}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) \frac{93}{2} értéket megszorozzuk a(z) \frac{1}{2} reciprokával.

$$x^{2}-28x=93$$

Elosztjuk a(z) -28 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -14. Ezután hozzáadjuk -14 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-28x+\left(-14\right)^{2}=93+\left(-14\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x^{2}-28x+196=93+196$$

Összeadjuk a következőket: 93 és 196.

$$x^{2}-28x+196=289$$

Tényezőkre x^{2}-28x+196. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-14\right)^{2}=289$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-14\right)^{2}}=\sqrt{289}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-14=17 x-14=-17$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 14.

$$x=31 x=-3$$