x^2+x+1=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1 és i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}). ± előjele negatív. i\sqrt{3} kivonása a következőből: -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+x=-1$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

A(z) x^{2}+x+\frac{1}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$