x^2+7x+12=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } +7x+12=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x=-3$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+7x+12 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=7 ab=12$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 7.

$$a=3 b=4$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x+3\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x+3=0 és x+4=0.

$$x=-3 x=-4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+12 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=7 ab=1\times 12=12$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 7.

$$a=3 b=4$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+7x+12) \left(x^{2}+3x\right)+\left(4x+12\right) alakban.

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(4x+12\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 4 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x+3\right)+4\left(x+3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x+3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x+3\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x+3=0 és x+4=0.

$$x=-3 x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+7x+12=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) 12 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 12}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 12}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1.

$$x=\frac{-7±1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±1}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -7 és 1.

$$x=-\frac{6}{2}$$

-6 elosztása a következővel: 2.

$$x=-3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±1}{2}). ± előjele negatív. 1 kivonása a következőből: -7.

$$x=-\frac{8}{2}$$

-8 elosztása a következővel: 2.

$$x=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-3 x=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+7x+12=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 12.

$$x^{2}+7x+12-12=-12$$

Ha kivonjuk a(z) 12 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+7x=-12$$

Elosztjuk a(z) 7 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-12+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-12+\frac{49}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -12 és \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{1}{4}$$

A(z) x^{2}+7x+\frac{49}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{2}.

$$x=-3 x=-4$$