x^2+4x-1=0 megoldása

$${ x }^{ 2 } +4x-1=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+2\right)\approx -4,236067977$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 20.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}$$

-4+2\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{5}-2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{5} kivonása a következőből: -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{2}$$

-4-2\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=-\sqrt{5}-2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+4x=1$$

Elosztjuk a(z) 4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 2. Ezután hozzáadjuk 2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+4x+2^{2}=1+2^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x^{2}+4x+4=1+4$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 4.

$$x^{2}+4x+4=5$$

Tényezőkre x^{2}+4x+4. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+2\right)^{2}=5$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+2=\sqrt{5} x+2=-\sqrt{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-2\approx -4,236067977$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 20.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}$$

-4+2\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{5}-2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{5} kivonása a következőből: -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{2}$$

-4-2\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=-\sqrt{5}-2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+4x=1$$

Elosztjuk a(z) 4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 2. Ezután hozzáadjuk 2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+4x+2^{2}=1+2^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x^{2}+4x+4=1+4$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 4.

$$x^{2}+4x+4=5$$

Tényezőkre x^{2}+4x+4. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+2\right)^{2}=5$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+2=\sqrt{5} x+2=-\sqrt{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$